Fadhb: teorainn an bhoird
Córas Martingale $10 ag bord $500. Cé chomh minic a bhriseann sé, cé mhéad a chailleann sé nuair a bhriseann, agus an gcabhraíonn sé an teorainn a ardú?
Briseann sé chaillteanas as a chéile é: 1.8% in aghaidh an timthrialla, thart ar 60% de sheisiúin 100 casadh. Cosnaíonn an briseadh $630. Má ardaítear an teorainn go $5,000 éiríonn an briseadh níos annamhaí (0.25% in aghaidh an timthrialla) agus níos mó ($5,110). Is é 2.70% an caillteanas ionchais in aghaidh gach dollair a chuirtear i ngeall, ag teorainn ar bith.
An fhadhb
Cuireann imreoir $10 ar an dearggeallDeargGeall ar chothrom ar na 18 n-uimhir dhearga. Fraincis: rouge.Léigh an t-iomlán → agus dúblaíonn sé tar éis gach caillteanais, ag athshocrú tar éis bua. Is é $500 uasmhéid an bhoird. (a) Cé mhéad caillteanas as a chéile a bhriseann an forchéimniústraitéisForchéimniúRiail ar bith a athraíonn an geall de réir na dtorthaí roimhe. Ardaíonn forchéimnithe diúltacha é tar éis caillteanas, forchéimnithe dearfacha tar éis buanna.Léigh an t-iomlán →? (b) Cad é an dóchúlachtmatamaiticDóchúlachtA mhéad is dócha go dtarlóidh toradh, ó 0 go 1 nó ó 0% go 100%. Uimhir amháin: 1/37 = 2.70%.Léigh an t-iomlán → in aghaidh an timthrialla? (c) Cad a chailltear ag an mbriseadh? (d) Conas a athraíonn teorainn $5,000 na freagraí? (e) An ndéanann teorainn ar bith an córas brabúsach?
Réitigh (a)–(c)
Geallta: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Ba é 640 > 500 an seachtú ceann, mar sin briseann sé chaillteanas é. (b) p(caillteanas) = 19/37 ar an dearg; (19/37)⁶ = 0.0183, thart ar 1.8% in aghaidh an timthrialla. Maireann timthriall thart ar dhá chasadh ar an meán, mar sin bíonn thart ar 50 timthriall i seisiún 100 casadh agus p(briseadh amháin ar a laghad) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, is é sin 63 aonadairgeadAonadAn bungheall a n-oibríonn córas nó imreoir leis. Déantar cur síos ar fhorchéimnithe in aonaid ionas go mbaineann siad le bord ar bith.Léigh an t-iomlán → bunghill, in aghaidh an $10 a bhí an timthriall ag iarraidh a bhuachan.
Réiteach (d)
Ag $5,000: ceadaítear geallta suas go 2,560; diúltaítear don deichiú geall, 5,120. Briseann naoi gcaillteanas é: (19/37)⁹ ≈ 0.25% in aghaidh an timthrialla, thart ar 11% de sheisiúin 100 casadh. Caillteanas ag an mbriseadh: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Cheannaigh an t-imreoir tubaiste níos annamhaí ar phraghas tubaiste níos mó. Thar go leor seisiún is é costas ionchais na mbristeacha p × caillteanas ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 in aghaidh an timthrialla ag teorainn $500 agus 0.0025 × 5,110 = $12.8 ag $5,000; tá an dá uimhir gar dá chéile ach ní cothrom, agus is ionann gach ceann acu agus caillteanas ionchaismatamaiticCaillteanas ionchaisAn luach ionchais méadaithe faoin tsuim iomlán a cuireadh i ngeall; an meánmhéid a chailltear thar sheisiún nó thar thréimhse.Léigh an t-iomlán → an timthrialla móide an $10 a thuilleann na timthrialla buaiteacha.
Réiteach (e)
Ní dhéanann. Caillteanas ionchais in aghaidh an timthrialla = (an geall iomlán ionchais sa timthriall) / 37, ag teorainn ar bith, mar gur −1/37 de féin gach geall. Ní shocraíonn an teorainn ach conas a roinntear an caillteanas idir go leor buanna beaga agus cúpla caillteanas mór. Gan teorainn agus le ciste imearthaairgeadCiste imearthaAn tsuim iomlán a chuirtear ar leataobh le haghaidh imeartha. Is éard is bainistíocht ciste ann ná cinneadh cé mhéad de a chuirfear i mbaol ar gach geall agus i ngach seisiún.Léigh an t-iomlán → gan teorainn “d'oibreodh” an forchéimniú, sa mhéid is nach mbrisfeadh sé choíche, agus chuirfeadh sé méid gan teorainn i ngeall freisin le caillteanas ionchais 2.70% den mhéid sin gan teorainn. Ní hí an teorainn boirdbordTeorainn boirdAn geall is lú agus an geall is mó a cheadaítear. Is é an t-uasmhéid a stopann forchéimnithe dúblaithe.Léigh an t-iomlán → a choisceann ar chóras MartingalestraitéisMartingaleForchéimniú a dhúblaíonn an geall tar éis gach caillteanais. Féach an rannóg Straitéisí lena fheiceáil cad a dhéanann sé agus cad nach ndéanann.Léigh an t-iomlán → oibriú. Is í an uimhríocht a choisceann.
Dhá bhord fíor
Is é sampla Thorp bord $1 le huasmhéid $1,000, ina bhfuil imreoir ag súil le $30 a bhuachan don dinnéar, dollar ar dhollar. Ceadaíonn na geallta 1, 2, 4 … 512 deich ngeall, mar sin briseann deich gcaillteanas as a chéile an forchéimniú: uair amháin in 785 timthriall ar roth Eorpach (uair amháin in 613 ar roth Meiriceánach), ar chostas $1,023. Éiríonn leis na tríocha timthriall ar fad 96.2% den am. Cailleann an 3.8% eile thart ar $1,000, agus is é −$9.17 meántoradh na hoíche, rud atá cothrom go díreach le 1/37 den $339 a chuireann na tríocha timthriall i ngeall ar an meán. Níl bord $5 le huasmhéid $2,000 aon phioc difriúil: ceadaíonn geallta suas go $1,280 naoi ngeall, agus tagann an briseadh uair amháin in 403 timthriall ar roth Eorpach (uair amháin in 323 ar roth Meiriceánach) agus cosnaíonn sé $2,555.
Imreoir saibhir
Tabhair ciste domhain don fhorchéimniú in ionad teorann íseal: 1,000 aonad, bonn aonaid amháin agus 1,000 casadh ar an dearg, ag tosú arís ag aonad amháin aon uair is mó an chéad dúbailt eile ná a bhfuil fágtha. D'ionsamhlaíomar milliún oíche den sórt sin. Ar roth Eorpach críochnaíonn 52% chun tosaigh, cailleann 21% gach rud, agus is é −124 aonad an meántoradh. Fiú i gcluiche gan náidrothNáidAn póca glas aonair nach gclúdaíonn aon gheall ar chothrom, dosaen ná colún; foinse buntáiste an tí. Ainmneacha eile: náid aonair, 0.Léigh an t-iomlán →, ina bhfuil gach geall cothrom, ní chríochnódh ach thart ar 60% chun tosaigh. Bua beag is ea an gnáthoíche; íoctar as an meán leis na hoícheanta a chríochnaíonn ag nialas.
An ceacht
Socraíonn casaíní teorainneacha chun srian a chur lena n-athraitheasmatamaiticAthraitheasTomhas ar a leithne atá na torthaí scaipthe timpeall an luacha ionchais. Ard d'uimhir aonair, íseal do gheallta ar chothrom.Léigh an t-iomlán → féin, ní chun córais a chloí. Is fo-iarmhairt é cloí Martingale a bhfuil siad sásta léi, agus chloífeadh an uimhríocht é ar aon nós. Imreoir a cheapann gurb í an teorainn an fhadhb, tá an aill aimsithe aige agus cheap sé gurbh í an fána í.
Foirmle
Ceisteanna
Ligeann sé duit maireachtáil go dtí teorainn níos airde, áit a bhfuil an briseadh níos annamhaí agus níos mó. Ní athraíonn an caillteanas ionchais in aghaidh an dollair.
Geallta 10, 30, 70, 150, 310: sroichtear teorainn $500 tar éis cúig chaillteanas, agus cosnaíonn an briseadh $570. An 2.70% céanna.
Ionas nach féidir le himreoir amháin níos mó a chur i ngeall ná mar is féidir le cúlchiste an chasaíne a íoc go compordach. Bainistíocht athraithis.
Spraoi leis an matamaitic
Bain triail astu tú féin ar dtús. Tá gach réiteach fillte; oscail é nuair a bheidh tú réidh.
Tosaíonn córas MartingalestraitéisMartingaleForchéimniú a dhúblaíonn an geall tar éis gach caillteanais. Féach an rannóg Straitéisí lena fheiceáil cad a dhéanann sé agus cad nach ndéanann.Léigh an t-iomlán → ag $100 ar an dearggeallDeargGeall ar chothrom ar na 18 n-uimhir dhearga. Fraincis: rouge.Léigh an t-iomlán → agus ní cheadaíonn sé dó féin ach n geall ar a mhéad sa timthriall: tar éis n caillteanas as a chéile tugann sé suas agus tosaíonn sé arís. Scríobh meántoradh timthrialla amháin mar fhoirmle in n, agus oibrigh amach é do 5, 6 agus 7 ngeall ar roth Eorpach.
Taispeáin an réiteach
Freagra Is é an meán 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 do 5 gheall, −$17.35 do 6 agus −$20.52 do 7. Má cheadaítear níos mó geallta, éiríonn an meántimthriall níos measa, ní níos fearr.
Buann timthriall $100 mura gcailltear na n geall ar fad, rud a tharlaíonn le dóchúlacht qⁿ, áit a bhfuil q = 19/37. Nuair a chailltear iad ar fad, suimíonn na geallta 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ go 100 × (2ⁿ − 1). Mar sin is é an meán 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Anseo 2q = 38/37, beagán níos mó ná 1, mar sin fásann (2q)ⁿ le n agus titeann an meán: tugann n = 5 1.1426 agus −$14.26; tugann n = 6 1.1735 agus −$17.35; tugann n = 7 1.2052 agus −$20.52. Cailleann dréimire níos faide níos annaimhe, in 3.6%, 1.8% agus 0.9% de na timthriallta, ach bíonn gach caillteanas dhá oiread chomh mór, agus téann níos mó airgid trasna an bhoird i ngach timthriall, ag 2.70% de gach geall.
Ar roth Meiriceánach 2q = 40/38 agus is iad −$29.24, −$36.04 agus −$43.20 na figiúirí (Taylor, 2021). I gcluiche gan náidrothNáidAn póca glas aonair nach gclúdaíonn aon gheall ar chothrom, dosaen ná colún; foinse buntáiste an tí. Ainmneacha eile: náid aonair, 0.Léigh an t-iomlán → 2q = 1, agus is é nialas go díreach meán gach timthrialla, is cuma cé chomh fada is atá an dréimire.
Dúblaíonn an “grand Martingale” an geall tar éis caillteanais agus cuireann sé aonadairgeadAonadAn bungheall a n-oibríonn córas nó imreoir leis. Déantar cur síos ar fhorchéimnithe in aonaid ionas go mbaineann siad le bord ar bith.Léigh an t-iomlán → amháin leis, mar sin téann na geallta 1, 3, 7, 15, 31 … Cé mhéad atá tú chun tosaigh nuair a thagann an chéad bhua ar an 1ú, ar an 2ú, ar an 3ú nó ar an k-ú geall? Ag aonad $10 agus uasgheall $500, cé chomh minic a bhristear timthriall, agus cad a chosnaíonn timthriall ar an meán?
Taispeáin an réiteach
Freagra Fágann bua ar an k-ú geall k aonad chun tosaigh thú: +1, +2, +3 agus mar sin de. Ag $10 agus $500 bristear an timthriall tar éis cúig chaillteanas, in 3.57% de na timthriallta, ar −$570. Ar an meán cailleann timthriall $2.32 as $85.73 curtha: 2.70%.
Is é 2ᵏ − 1 aonad an k-ú geall: 1, 3, 7, 15, 31. Suimíonn na k − 1 geall tosaigh go 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Íocann bua ar an k-ú geall 2ᵏ − 1, mar sin críochnaíonn an timthriall (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k aonad chun tosaigh: aonad breise amháin do gach caillteanas roimh an mbua.
Ag $10 an t-aonad is iad $10, $30, $70, $150 agus $310 na geallta; tá an chéad cheann eile, $630, os cionn an uasghill $500. Cosnaíonn cúig chaillteanas as a chéile, (19/37)⁵ = 3.57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Meán: tugann na buanna $10 × k isteach le dóchúlacht (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 do k = 1 go 5, agus tógann an briseadh $570 le dóchúlacht 3.57%; le chéile −$2.32. Is é $85.73 meán an airgid a chuirtear i ngeall in aghaidh an timthrialla, agus 2.32/85.73 = 2.70%. Bristear an gnáthchóras Martingale ag an mbord céanna tar éis sé chaillteanas, in 1.83% de na timthriallta, ar −$630, agus cailleann sé $1.74 as $64.20 curtha: 2.70% arís.
Tá sé beartaithe ag imreoir córas Martingale a imirt ar an dearg, ag tosú le geall $1, ag bord a bhfuil teorainn $1,000 air, mar sin is féidir deich ngeall a chur: $1, $2, $4 agus mar sin de suas go $512. Cé chomh minic a chailleann timthriall na deich gcinn ar fad, cé chomh fada a thógann sé sin ar an meán, agus cé chomh minic a chríochnaíonn oíche de 200 geall mar sin?
Taispeáin an réiteach
Freagra Cailleann timthriall na deich gcinn ar fad thart ar uair amháin as 784, agus cosnaíonn sé sin $1,023. Sin thart ar 1,600 geall ar an meán, agus buaileann oíche de 200 geall an balla thart ar 11% den am. Cailleann timthriall $0.31 ar an meán fós as $11.31 curtha: 2.70%.
Cailleann geall ar an dearg le dóchúlacht 19/37, an náid san áireamh. Deich gcinn as a chéile: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, thart ar 1 as 784. Suimíonn na geallta 1 + 2 + 4 + … + 512 go $1,023.
Tógann timthriall 2.05 geall ar an meán, mar sin tógann 784 timthriall thart ar 1,600 geall. Má chomhairtear casadh ar chasadh, tagann rith de dheich gcaillteanas áit éigin in 200 geall 11.3% den am.
Idir na tubaistí buann an t-imreoir $1 sa timthriall: thart ar $783 roimh an drochcheann, ansin −$1,023, thart ar −$240 thar an tréimhse ar fad. In aghaidh an timthrialla: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. An t-airgead a chuirtear i ngeall in aghaidh an timthrialla: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. Agus −0.31/11.31 = −2.70%.
Cuir i gcomparáid leis sin geall tosaigh $10 ag teorainn $500, sé gheall: tagann an balla uair amháin as 55 timthriall, agus buaileann oíche de 200 geall é 84% den am. Déanann teorainn níos airde an tubaiste níos annaimhe agus níos mó, ní níos saoire.
Sos grinn
Níos annamhaí agus níos mó, ag gach teorainn. Tá an t-iolrach seasmhach.
Foinsí
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.