Fadhb: roth an lae breithe
Cé mhéad casadh sula dtagann uimhir éigin arís? I bhfad níos lú ná mar a cheapann formhór na ndaoine.
Fadhb an lae breithe ar roth 37 pócatrealamhPócaCeann de na 37 urrann uimhrithe ar an rótar. Ainmneacha eile: sliotán, cupán.Léigh an t-iomlán →: tar éis 8 gcasadh amháin tá seans níos fearr ná a mhalairt go mbeidh uimhir éigin tagtha aníos faoi dhó cheana. Léann imreoirí athrá mar phatrún; is é iompar ionchais roth neamhchlaonta é.
An fhadhb
Cas roth Eorpach neamhchlaonta. Cé mhéad casadh go dtí go mbíonn an dóchúlachtmatamaiticDóchúlachtA mhéad is dócha go dtarlóidh toradh, ó 0 go 1 nó ó 0% go 100%. Uimhir amháin: 1/37 = 2.70%.Léigh an t-iomlán → gur thaispeáin dhá chasadh ar a laghad an uimhir chéanna níos mó ná leath? Tugann formhór na n-imreoirí buille faoi thuairim thart ar 18 nó 19, leath de 37. Is é 8 an freagra.
An réiteach
Ríomh an dóchúlacht nach mbeidh athrá ar bith ann agus dealaigh ó aon é. Tar éis k casadh, p(iad uile difriúil) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Do k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, mar sin p(athrá éigin) ≈ 0.56. Do k = 14 is é 0.93 é; do k = 20 is é 0.996 é. Teipeann ar an iomas mar go bhfásann líon na bpéirí casaí mar k², agus is féidir le péire ar bith a bheith mar an gcéanna.
Cén fáth a bhfuil tábhacht leis ag an mbord
Taispeánfaidh clár torthaí de na 20 uimhir dheireanacha athrá amháin ar a laghad beagnach i gcónaí, dhá cheann nó trí cinn go minic. Feiceann imreoirí “tháinig 17 faoi dhó i ndeich gcasadh” agus socraíonn siad gur uimhir the í 17; deir uimhríocht an lae breithe go dtarlaíonn athrá laistigh de dheich gcasadh 74% den am agus gur randamach an uimhir a thagann arís. Is fíor an patrún; ní fíor an chiall.
An fhadhb leantach
Cé mhéad casadh go dtí go mbeidh uimhir ar leith, 17 mar shampla, tagtha aníos faoi dhó? Ceist eile í sin a bhfuil freagra i bhfad níos mó aici: is é 74 casadh an fanacht ionchais, agus is é thart ar 10% an dóchúlacht go dtiocfaidh 17 faoi dhó laistigh de 20 casadh. Is é an difríocht idir “tagann uimhir éigin arís” (8 gcasadh) agus “tagann an uimhir seo arís” (74 casadh) an difríocht iomlán idir patrún a thugann tú faoi deara ina dhiaidh agus tuar a dhéanann tú roimh ré.
Bain triail as
Rith an cluiche samplach ar feadh deich gcasadh agus féach ar an stair. Is gnách go mbíonn athrá ann. Rith arís é. Beidh uimhir eile i gceist leis an athrá. Déan é seo deich n-uaire agus tá fadhb an lae breithematamaiticFadhb an lae breitheCé mhéad duine a theastaíonn le go mbeadh sé dóchúil go bhfuil an lá breithe céanna ag beirt acu, nó cé mhéad casadh a theastaíonn le go mbeadh sé dóchúil go dtiocfadh uimhir arís. Ar roth 37 póca, is leor 8 gcasadh le seans níos fearr ná a mhalairt.Léigh an t-iomlán → feicthe agat; déan míle uair é (is féidir leis na hionsamhlóirí) agus tá sí tomhaiste agat.
Foirmle
Ceisteanna
Go díreach, le 37 póca in ionad 365 lá. Tugann 23 duine 50% do laethanta breithe; tugann 8 gcasadh 56% don roth.
50% tar éis thart ar 19 gcasadh. Gnáthrud fós.
Ní thugann. Thabharfadh na mílte casadh ó roth amháin; ní thugann athrá choíche.
Spraoi leis an matamaitic
Bain triail astu tú féin ar dtús. Tá gach réiteach fillte; oscail é nuair a bheidh tú réidh.
Taispeánann clár torthaí in aice le roth Meiriceánach na 16 chasadh is déanaí. Cé chomh dóchúil is atá sé nach bhfuil uimhir ar bith air faoi dhó?
Taispeáin an réiteach
Freagra Thart ar 2.5%: taispeánann thart ar 39 clár as 40 athrá amháin ar a laghad.
Téigh casadh ar chasadh. Is féidir leis an gcéad chasadh a bheith ina rud ar bith. Caithfidh an dara ceann é a sheachaint: 37 as 38. Caithfidh an tríú ceann an dá cheann a sheachaint: 36 as 38. Caithfidh an séú ceann déag cúig uimhir déag a sheachaint: 23 as 38.
Iolraigh: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
Is é an clár gan athrá an ceann annamh. Ní insíonn clár le hathrá faic faoin roth.
I ndeich gcasadh de roth Eorpach, cad é an dóchúlacht go dtiocfaidh 17 aníos cúig huaire go díreach? Go dtiocfaidh uimhir éigin, uimhir ar bith, aníos cúig huaire nó níos mó? Agus go dtiocfaidh uimhir éigin aníos trí huaire ar a laghad i gceithre chasadh?
Taispeáin an réiteach
Freagra 17 cúig huaire go díreach: 1 as 315,576. Uimhir éigin cúig huaire nó níos mó: thart ar 1 as 8,333. Uimhir éigin trí huaire nó níos mó i gceithre chasadh: 1 as 349.
17 cúig huaire: roghnaigh cé na cúig cinn de na deich gcasadh, 252 bealach, gach ceann le dóchúlacht (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Le chéile, 1 as 315,576.
Uimhir éigin: tá dóchúlacht 1 as 308,325 ag gach ceann de na 37 uimhir go mbuailfear í cúig huaire nó níos mó, rud a thugann 37 as 308,325, nó 1 as 8,333. Áirítear faoi dhó an cás annamh ina mbuailtear dhá uimhir cúig huaire an ceann, ach ní athraíonn sé faic ag an mbeachtas seo é a bhaint amach.
Trí huaire i gceithre chasadh: d'uimhir amháin, 4 × 36 + 1 = 145 de na 37⁴ toradh is féidir; d'aon cheann de na 37 uimhir, 145/37³ = 1 as 349.
Do roth le dhá náidrothNáidAn póca glas aonair nach gclúdaíonn aon gheall ar chothrom, dosaen ná colún; foinse buntáiste an tí. Ainmneacha eile: náid aonair, 0.Léigh an t-iomlán →, is iad na figiúirí comhfhreagracha 1 as 359,275, 1 as 9,243 agus 1 as 368. Is í fadhb an lae breithematamaiticFadhb an lae breitheCé mhéad duine a theastaíonn le go mbeadh sé dóchúil go bhfuil an lá breithe céanna ag beirt acu, nó cé mhéad casadh a theastaíonn le go mbeadh sé dóchúil go dtiocfadh uimhir arís. Ar roth 37 póca, is leor 8 gcasadh le seans níos fearr ná a mhalairt.Léigh an t-iomlán → arís an bhearna idir “17” agus “uimhir éigin”: tá 37 bealach ann chun iontas a bhaint asat.
Sos grinn
Tagann rud éigin arís go luath. Is randamach an rud sin.
Foinsí
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, ceisteanna faoin rúiléid.